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专题1.15添加辅助线构造三角形全等的八种方法（题型梳理与方法分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形全等的方法。
【方法1】连接两点构造全等【方法2】作垂直构造全等；
【方法3】作平行线构造全等；【方法4】延长相交补全图形构造全等；
【方法5】构造双垂直等角全等；【方法6】倍长中线构造全等；
【方法7】截长补短构造全等；【方法8】旋转构造全等；
【方法9】连接两点构造全等拓展；【方法10】作垂直构造全等延伸与拓展；
【方法11】作平行线构造全等拓展；【方法12】构造双垂直等角全等拓展；
【方法13】延长相交构造全等拓展；【方法14】截长补短构造全等拓展；
第二部分【题型梳理与方法点拨】
【题型1】连接两点构造全等；
【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等．
方法一：连接，证明，再证明即可；方法二：连接，证明即可．
解：证明：方法一：
连接．
在和中，
，
在和中，
，
，
证明：方法二：连接．
，，，
，
【变式1】（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）如图所示，连接，设交于点P，结论：①；②；③点P在的平分线上．以上结论中正确个数为（）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理．
根据全等三角形的判定和角平分线的性质解答即可．
解：连接
在与中，
，
∴，①正确；
∴；
∵，
在与中，
，
∴，②正确；
∴，
在与中，
，
∴，
∴，即点P在的平分线上，③正确．
故选D．
【变式2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，点D，E分别在AB，BC上，且，，连接DE，过点C作，交DE的延长线于点F，则．的面积为．
【答案】8
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，连接，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，三角形的中线平分面积，求出的面积，再证明，即可．
解：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：8．
【题型2】作垂直构造全等；
【例1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）综合与实践：
(1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：．
(2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点．
(3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值．
【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)9
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用证得，即可求证结论；
（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；
（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；
解：（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过作于，如图：
由（1）得：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，，
是的中点；
（3）解：，理由如下：
过点作于，如图：
由（2）得：，，，
，
，，
，
，
，
．
即．
【变式1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可
解：过点B作直线于点，延长交直线